On Irregularity Measures in Trees with Fibonacci Degree Sequences

Abstract

In this paper, degree-based topological indices are fundamental graph invariants used to quantify structural irregularity. Let G=(V,E) be a simple tree with vertex degrees dv for v∈V(G). This paper investigates trees whose degree sequences are governed by the Fibonacci numbers Fk_{k≥3}, referred to here as Fibonacci trees. Particular attention is given to the Albertson index and the Sigma index σ(G)=uv∈E(G)∑​(du−dv)^2, both of which measure the degree irregularity along the edges of the graph. Firstly, characterize the Fibonacci degree sequences that are realizable by trees and describe their key structural properties. Exploiting the recursive nature of the Fibonacci sequence, we derive an explicit closed-form expression for the Albertson index of Fibonacci trees in terms of Fk. This formula reveals how recursive degree constraints influence edgedegree imbalances. Sharp lower and upper bounds for both irr(G) and σ(G) are then established for trees of fixed order with prescribed degree sequences. The extremal trees achieving these bounds are identified and include paths, stars, and certain star-like configurations. These results extend known extremal properties of degree-based topological indices and illustrate the specific impact of Fibonacci degree sequences on tree irregularity. The study offers new insights into recursively constrained degree sequences and suggests promising directions for further analysis of structured trees using algebraic and combinatorial methods. В данной работе топологические индексы, основанные на степенях вершин, являются фундаментальными инвариантами графа, используемыми для количественной оценки структурной нерегулярности. Пусть G=(V,E) — простое дерево со степенями вершин dvdv для v∈V(G). В данной работе исследуются деревья, последовательности степеней вершин которых определяются числами Фибоначчи Fk_{k≥3}, называемые здесь деревьями Фибоначчи. Особое внимание уделяется индексу Альбертсона и индексу Сигма: σ(G)=uv∈E(G)∑​(du−dv)^2, оба измеряют нерегулярность степеней вдоль ребер графа. Во-первых, охарактеризуем последовательности степеней Фибоначчи, реализуемые деревьями, и опишем их ключевые структурные свойства. Используя рекурсивную природу последовательности Фибоначчи, мы выводим явное выражение в замкнутой форме для индекса Альбертсона деревьев Фибоначчи через Fk​. Эта формула показывает, как рекурсивные ограничения степеней влияют на дисбаланс степеней ребер. Затем устанавливаются точные нижние и верхние границы как для irr(G), так и для σ(G) для деревьев фиксированного порядка с заданными последовательностями степеней. Идентифицируются экстремальные деревья, достигающие этих границ, и включают пути, звезды и некоторые звездообразные конфигурации. Эти результаты расширяют известные экстремальные свойства топологических индексов, основанных на степенях, и иллюстрируют специфическое влияние последовательностей степеней Фибоначчи на нерегулярность дерева. Исследование предлагает новые идеи относительно рекурсивно ограниченных последовательностей степеней и указывает на перспективные направления для дальнейшего анализа структурированных деревьев с использованием алгебраических и комбинаторных методов.