Existence of solutions for 4p-order PDES with Neumann boundary conditions

Abstract

Abstract In this work, we study the existence of at least one non decreasing sequence of nonnegative eigenvalues for the problem: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>m</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi>i</m:mi> <m:mi>n</m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>=</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>=</m:mo> <m:mo>…</m:mo> <m:mo>=</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi>o</m:mi> <m:mi>n</m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>.</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> \left\{ {\matrix{ {{\Delta ^{2p}}u = \lambda m\left( x \right)u\,\,\,in\,\,\,\Omega ,} \cr {{{\partial u} \over {\partial v}} = {{\partial \left( {\Delta u} \right)} \over {\partial v}} = \ldots = {{\partial \left( {{\Delta ^{2p - 1}}u} \right)} \over {\partial v}} = 0\,\,\,on\,\,\,\partial \Omega .} \cr } } \right. Where Ω is a bounded domain in ℝ N with smooth boundary ∂ Ω, p ∈ ℕ*, m ∈ L ∞ (Ω), and Δ 2 p u := Δ (Δ...( Δ u )), 2 p times the operator Δ.