Capacity solutions for anisotropic variable exponent parabolic-elliptic systems with degenerate term

Abstract

Abstract This paper focuses on establishing the existence of a capacity solution for the following anisotropic elliptic-parabolic system with variable exponent: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>t</m:mi> </m:msub> <m:mo rspace="0.055em">−</m:mo> <m:mrow> <m:munderover> <m:mo movablelimits="false" rspace="0em">∑</m:mo> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi>d</m:mi> </m:munderover> <m:msub> <m:mrow> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">[</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> </m:mfrac> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">]</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Θ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mo rspace="0.167em">∇</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mo lspace="0.500em">⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>Q</m:mi> <m:mi>T</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo>